Reelle stetige Funktion/Approximationseigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Nach Fakt gibt es für jede reelle Zahl ${}x$ eine Folge ${}x_{n}$ von rationalen Zahlen (sogar von Dezimalbrüchen), die gegen ${}x$ konvergiert. Wegen der Stetigkeit und Fakt ist dann

   ${}f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})\,.$

2. Für jedes ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ ist

   ${}x_{n}=a-{\frac {1}{n}}<a\,.$

   Da die Folge der Stammbrüche eine Nullfolge ist, konvergiert diese Folge gegen ${}a$. Wegen der Stetigkeit und Fakt ist wieder

   ${}f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})\,.$

3. Dies folgt aus Teil (2) und Fakt.

Zur bewiesenen Aussage