Reeller Vektorraum/Gitter/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es seien ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ linear unabhängige Vektoren im ${}\mathbb {R} ^{n}$. Dann heißt die Untergruppe ${}\mathbb {Z} v_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} v_{n}$ ein Gitter im ${}\mathbb {R} ^{n}$.

Manchmal spricht man auch von einem vollständigen Gitter. Als Gruppen sind sie isomorph zu ${}\mathbb {Z} ^{n}$, hier interessieren aber auch Eigenschafen der Einbettung in ${}\mathbb {R} ^{n}$. Ein Gitter heißt rational, wenn die erzeugenden Vektoren zu ${}\mathbb {Q} ^{n}$ gehören.

Satz

Zu einem Gitter ${}\Gamma =\mathbb {Z} v_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} v_{n}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$

ist die topologische Restklassengruppe ${}\mathbb {R} ^{n}/\Gamma$ isomorph zum ${}n$-dimensionalen Torus ${}S^{1}\times \cdots \times S^{1}$ (mit ${}n$ Faktoren).

Beweis

Nach Aufgabe können wir davon ausgehen, dass ${}\Gamma$ das Standardgitter ${}\mathbb {Z} e_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} e_{n}$ ist. Für dieses gilt

${}\mathbb {R} ^{n}/{\left(\mathbb {Z} e_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} e_{n}\right)}={\left(\mathbb {R} /\mathbb {Z} e_{1}\right)}\times \cdots \times {\left(\mathbb {R} /\mathbb {Z} e_{n}\right)}=S^{1}\times \cdots \times S^{1}\,.$

$\Box$