Reflektionsgruppe/Hilbert-Ideal/Alternative/Fakt/Beweis

Beweis

Wir führen Induktion über den Grad von ${}h_{1}$ . Bei ${}h_{1}=0$ gehört natürlich ${}h_{1}$ zu ${}I_{G}$ . Für ${}h_{1}\neq 0$ und ${}\operatorname {grad} \,(h_{i})=0$ ist ${}g_{1}\in (g_{2},\ldots ,g_{m})$ . Es sei also ${}\operatorname {grad} \,(h_{1})\geq 1$ und die Aussage für kleineren Grad bewiesen. Es sei ${}g_{1}\notin (g_{2},\ldots ,g_{m})$ vorausgesetzt und es sei ${}\sigma \in G$ eine Pseudoreflektion. Dann ist

{}\sum _{i=1}^{m}g_{i}\cdot (h_{i}\sigma )={\left(\sum _{i=1}^{m}g_{i}h_{i}\right)}\sigma =0\sigma =0\,.

Nach Fakt kann man

{}h_{i}\sigma =h_{i}+L_{\sigma }\cdot {\widetilde {h}}_{i}\,

schreiben, wobei ${}L_{\sigma }$ eine beschreibende Linearform des Fixraumes zu ${}\sigma$ ist und ${}{\widetilde {h}}_{i}$ einen kleineren Grad als ${}h_{i}$ besitzt. Wir schreiben die obige Gleichung als

{}0=\sum _{i=1}^{m}g_{i}{\left(h_{i}+L_{\sigma }{\widetilde {h}}_{i}\right)}=L_{\sigma }\sum _{i=1}^{m}g_{i}{\widetilde {h}}_{i}\,.

Daher ist die Summe rechts gleich ${}0$ und nach Induktionsvoraussetzung ist ${}{\widetilde {h}}_{1}\in I_{G}$ , also auch ${}h_{1}\sigma -h_{1}={\widetilde {h}}_{1}L_{\sigma }\in I_{G}$ .

Es sei nun ${}\tau =\sigma _{1}\cdots \sigma _{k}\in G$ ein Produkt von Pseudoreflektionen. Dann ist

{}{\begin{aligned}h_{1}\tau -h_{1}&=\sum _{i=1}^{k}{\left(h_{1}\sigma _{i}\cdots \sigma _{k}-h_{1}\sigma _{i+1}\cdots \sigma _{k}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{k}{\left(h_{1}\sigma _{i}-h_{1}\right)}{\left(\sigma _{i+1}\cdots \sigma _{k}\right)}.\end{aligned}}

Da ${}h_{1}\sigma _{i}-h_{1}$ zu ${}I_{G}$ gehört und ${}I_{G}$ unter ${}G$ invariant ist, gehört auch ${}h_{1}\tau -h_{1}$ zu ${}I_{G}$ . Mit dem Reynolds-Operator ${}\rho$ ist