Reflektionsgruppe/Hilbert-Ideal/Alternative/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir führen Induktion über den Grad von . Bei gehört natürlich zu . Für und ist . Sei also und die Aussage für kleineren Grad bewiesen. Es sei vorausgesetzt und es sei eine Pseudoreflektion. Dann ist

Nach Fakt kann man

schreiben, wobei eine beschreibende Linearform des Fixraumes zu ist und einen kleineren Grad als besitzt. Wir schreiben die obige Gleichung als

Daher ist die Summe rechts gleich und nach Induktionsvoraussetzung ist , also auch .

Sei nun ein Produkt von Pseudoreflektionen. Dann ist

Da zu gehört und unter invariant ist, gehört auch zu . Mit dem Reynolds-Operator ist

Dies gehört zu und wegen ist auch .