Endliche Gruppenoperation/Teilerfremd/Reynolds/Textabschnitt

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Für einen Invariantenring nennt man einen -Modulhomomorphismus

mit auch einen Reynolds-Operator. Ein Reynolds-Operator muss im Allgemeinen nicht existieren, er existiert aber unter der folgenden Bedingung.



Lemma  

Es sei eine endliche Gruppe, die auf einer kommutativen -Algebra als Gruppe von -Algebraautomorphismen operiere. Die Gruppenordnung sei kein Vielfaches der Charakteristik von .

Dann ist die Abbildung

ein Reynolds-Operator.

Insbesondere ist ein direkter Summand.

Beweis  

Aufgrund der Voraussetzung an die Charakteristik ist eine Einheit in und damit in , also ist die angegebene Abbildung wohldefiniert. Die Abbildung ist offenbar ein Gruppenhomomorphismus. Für und ist ferner

daher liegt ein -Modulhomomorphismus vor. Für ist

also ist


Die Bedingung, dass die Gruppenordnung zur Charakteristik teilerfremd ist, ist für viele Resultate der Invariantentheorie eine wesentliche Voraussetzung. Der andere Fall, dass die Gruppenordnung ein Vielfaches der Charakteristik ist, bildet ein eigenes Kapitel der Invariantentheorie, und besitzt sogar einen eigenen Namen. Man spricht von modularer Invariantentheorie.


Beispiel  

Es sei ein Körper der Charakteristik und . Auf der -Algebra

operiert die additive Gruppe , indem ein durch

wirkt. Wegen

sind diese zunächst auf definierten Ringautomorphismen auch auf der Restklassenalgebra Automorphismen. Der Invariantenring ist , wobei die Inklusion

unmittelbar klar ist. Zum Beweis der Umkehrung betrachten wir die Nenneraufnahme und . Es ist

wobei beim letzten Isomorphismus auf abgebildet wird. Ebenso ist . Die Operation lässt sich auf diese beiden Nenneraufnahmen fortsetzen. Für die Operation auf ist der Invariantenring. Zu einem , , wird ein Polynom

auf

abgebildet. Bei ist der Koeffizient zu

und dies ist bei nicht gleich . Also ist ein solches Polynom nicht invariant. Das gleiche Argument gilt für .

Es sei nun invariant. Dann ist auch als Element in bzw. in invariant und daher ist sowohl als auch . Aus

folgt

und aus der Faktorialität von ergibt sich, dass ein Vielfaches von sein muss. Somit gehört zu . Der Invariantenring ist also . Dieser ist aber kein direkter Summand in . Es ist in , aber in , was unmittelbar aus der definierenden Gleichung folgt. Nach Aufgabe kann daher kein direkter Summand vorliegen.