Endliche Gruppenoperation/Teilerfremd/Reynolds/Textabschnitt

Für einen Invariantenring  $R^G\subseteq R$  nennt man einen $R^G$-Modulhomomorphismus

$\rho :R⟶R^G$

mit  $\rho \circ \iota ={\mathrm{Id}}_{R^G}$  auch einen Reynolds-Operator. Ein Reynolds-Operator muss im Allgemeinen nicht existieren, er existiert aber unter der folgenden Bedingung.

Lemma

Es sei $G$ eine endliche Gruppe, die auf einer kommutativen $K$-Algebra $R$ als Gruppe von $K$-Algebraautomorphismen operiere. Die Gruppenordnung sei kein Vielfaches der Charakteristik von $K$.

Dann ist die Abbildung

$\rho :R⟶R^G,f⟼\frac{1}{\mathrm{\#}\left(G\right)}\sum _{\sigma \in G}f\sigma ,$

ein Reynolds-Operator.

Insbesondere ist  $R^G\subseteq R$  ein direkter Summand.

Beweis

Aufgrund der Voraussetzung an die Charakteristik ist $\mathrm{\#}\left(G\right)$ eine Einheit in $K$ und damit in $R$, also ist die angegebene Abbildung wohldefiniert. Die Abbildung ist offenbar ein Gruppenhomomorphismus. Für  $g\in R^G$  und  $f\in R$  ist ferner

$\begin{array}{cc}\rho (gf)& =\frac{1}{\mathrm{\#}\left(G\right)}\sum _{\sigma \in G}(gf)\sigma \\ & =\frac{1}{\mathrm{\#}\left(G\right)}\sum _{\sigma \in G}(g\sigma )(f\sigma )\\ & =\frac{1}{\mathrm{\#}\left(G\right)}\sum _{\sigma \in G}g(f\sigma )\\ & =g\left(\frac{1}{\mathrm{\#}\left(G\right)}\sum _{\sigma \in G}f\sigma \right)\\ & =g\rho (f),\end{array}$

daher liegt ein $R^G$-Modulhomomorphismus vor. Für  $g\in R^G$  ist

$\rho (g)=\frac{1}{\mathrm{\#}\left(G\right)}\sum _{\sigma \in G}g\sigma =\frac{1}{\mathrm{\#}\left(G\right)}\sum _{\sigma \in G}g=\frac{1}{\mathrm{\#}\left(G\right)}\left(\mathrm{\#}\left(G\right)g\right)=g,$

also ist

$\rho \circ \iota ={\mathrm{Id}}_{R^G}.$

$◻$

Die Bedingung, dass die Gruppenordnung zur Charakteristik teilerfremd ist, ist für viele Resultate der Invariantentheorie eine wesentliche Voraussetzung. Der andere Fall, dass die Gruppenordnung ein Vielfaches der Charakteristik ist, bildet ein eigenes Kapitel der Invariantentheorie, und besitzt sogar einen eigenen Namen. Man spricht von modularer Invariantentheorie.

Beispiel

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $0$ und  $A=K[X,Y]$.  Auf der $A$-Algebra

$B=A[S,T]/(XS+YT+1)=K[X,Y,S,T]/(XS+YT+1)$

operiert die additive Gruppe $(K,+)$, indem ein  $\lambda \in K$  durch

$X\mapsto X,Y\mapsto Y,S\mapsto S+\lambda Y,T\mapsto T-\lambda X$

wirkt. Wegen

$X(S+\lambda Y)+Y(T-\lambda X)=XS+YT=-1$

sind diese zunächst auf $K[X,Y,S,T]$ definierten Ringautomorphismen auch auf der Restklassenalgebra $B$ Automorphismen. Der Invariantenring ist  $A=K[X,Y]$,  wobei die Inklusion

$A\subseteq B^G$

unmittelbar klar ist. Zum Beweis der Umkehrung betrachten wir die Nenneraufnahmen $A\to A_X$ und $B\to B_X$. Es ist

$B_X={(K[X,Y,S,T]/(XS+YT+1))}_X\cong (A_X[S,T])/(XS+YT+1)\cong A_X[T],$

wobei beim letzten Isomorphismus $S$ auf $\frac{-1-YT}{X}$ abgebildet wird. Ebenso ist  $B_Y\cong A_Y[S]$.  Die Operation lässt sich auf diese beiden Nenneraufnahmen fortsetzen. Für die Operation auf  $B_X=A_X[T]$  ist $A_X$ der Invariantenring. Zu einem $\lambda \in K$, $\lambda \ne 0$, wird ein Polynom

$F=a_0+a_{1}T+\cdots +a_{n-1}{T}^{n-1}+a_n{T}^n$

auf

$a_0+a_1(T-\lambda X)+\cdots +a_{n-1}(T-\lambda X{)}^{n-1}+a_n(T-\lambda X{)}^n$

abgebildet. Bei  $n\ge 1$  ist der Koeffizient zu $T^{n-1}$

$a_{n-1}-n\lambda X{a}_n$

und dies ist bei  $\lambda \ne 0$  nicht gleich $a_{n-1}$. Also ist ein solches Polynom nicht invariant. Das gleiche Argument gilt für  $A_Y\subseteq A_Y[S]=B_Y$. 

Es sei nun  $F\in B$  invariant. Dann ist $F$ auch als Element in $B_X$ bzw. in $B_Y$ invariant und daher ist sowohl  $F\in A_Y$  als auch  $F\in A_X$.  Aus

$F=\frac{G}{X^n}=\frac{H}{Y^m}$

folgt

$G{Y}^m=H{X}^n$

und aus der Faktorialität von $K[X,Y]$ ergibt sich, dass $G$ ein Vielfaches von $X^n$ sein muss. Somit gehört $F$ zu $A$. Der Invariantenring ist also $A$. Dieser ist aber kein direkter Summand in $B$. Es ist  $1\notin (X,Y)$  in $A$, aber  $1\in (X,Y)$  in $B$, was unmittelbar aus der definierenden Gleichung  $XS+YT=-1$  folgt. Nach Aufgabe kann daher kein direkter Summand vorliegen.