Reguläre Funktion auf Mannigfaltigkeit/Urbild halbseitiger Intervalle/Mannigfaltigkeit mit Rand/Fakt/Beweis

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Beweis

Zur Notationsvereinfachung sei , und wir beschränken uns auf . Es ist

wobei die linke Menge eine offene Menge von und damit eine offene Untermannigfaltigkeit ist. Entscheidend ist also zu zeigen, dass es für die Punkte aus der Faser Karten und damit eine Mannigfaltigkeitsstruktur gibt. Sei also . Nach dem Beweis des Satzes über implizite Abbildungen gibt es zu eine offene (Karten)-Umgebung und eine Karte

, derart, dass ist. Dabei korrespondiert zu und zu , so dass also die Einschränkung von auf eine Karte für in liefert. Die Kartenwechsel sind dabei -diffeomorph, da dies für die (vollen) Karten auf gilt.