Reguläre Funktion auf Mannigfaltigkeit/Urbild halbseitiger Intervalle/Mannigfaltigkeit mit Rand/Fakt/Beweis

Beweis

Zur Notationsvereinfachung sei  $a=0$,  und wir beschränken uns auf $M$. Es ist

$M=\{x\in L\mid f(x)<0\}\uplus F,$

wobei die linke Menge eine offene Menge von $L$ und damit eine offene Untermannigfaltigkeit ist. Entscheidend ist also zu zeigen, dass es für die Punkte aus der Faser $F$ Karten und damit eine Mannigfaltigkeitsstruktur gibt. Es sei also  $P\in F$.  Nach dem Beweis des Satzes über implizite Abbildungen gibt es zu  $P\in F$  eine offene (Karten)-Umgebung  $P\in U\subseteq L$  und eine Karte

$\alpha :U⟶V,$

 $V\subseteq {ℝ}^n$,  derart, dass  $f=x_1\circ \alpha$  ist. Dabei korrespondiert $F\cap U$ zu $\{x\in V\mid x_1=0\}$ und $M\cap U$ zu $H_{\le 0}\cap V$, sodass also die Einschränkung von $\alpha$ auf $M$ eine Karte für $M$ in $P$ liefert. Die Kartenwechsel sind dabei $C^1$-diffeomorph, da dies für die (vollen) Karten auf $L$ gilt.

Zur bewiesenen Aussage