Reine Gleichung über Körper/Als graduierte Algebra/Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}a\in K$ und ${}n\in \mathbb {N}$. Dann besitzt die Restklassenalgebra ${}A=K[X]/(X^{n}-a)$ eine Graduierung mit der graduierenden Gruppe ${}D=\mathbb {Z} /(n)$, und zwar setzt man (wobei ${}x$ die Restklasse von ${}X$ sei)

${}A_{d}={\left\{\lambda x^{d}\mid \lambda \in K\right\}}\,.$

Jedes Element ${}f\in A$ kann man durch ein Polynom repräsentieren, das maximal den Grad ${}n-1$ besitzt. Daher besitzt jedes ${}f$ eine Summendarstellung mit Summanden aus den ${}A_{d}$. Diese Summenzerlegung ist direkt, da man mit der einzigen gegebenen Gleichung ${}X^{n}=a$ nicht weiter reduzieren kann. Die Multiplikationseigenschaft folgt aus ${}\lambda x^{d}\cdot \mu x^{e}=\lambda \mu x^{d+e}$, und dies ist gleich ${}\lambda \mu ax^{d+e-n}$, falls ${}d+e\geq n$ ist, und andernfalls gleich ${}\lambda \mu x^{d+e}$. So oder so ist es ein Element aus ${}A_{d+e}$.