Reine Gleichung über Körper/Als graduierte Algebra/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper,  $a\in K$  und  $n\in \mathbb{N}$.  Dann besitzt die Restklassenalgebra  $A=K[X]/(X^n-a)$  eine Graduierung mit der graduierenden Gruppe  $D=\mathbb{Z}/(n)$,  und zwar setzt man (wobei $x$ die Restklasse von $X$ sei)

$A_d=\{\lambda x^d\mid \lambda \in K\}.$

Jedes Element  $f\in A$  kann man durch ein Polynom repräsentieren, das maximal den Grad $n-1$ besitzt. Daher besitzt jedes $f$ eine Summendarstellung mit Summanden aus den $A_d$. Diese Summenzerlegung ist direkt, da man mit der einzigen gegebenen Gleichung  $X^n=a$  nicht weiter reduzieren kann. Die Multiplikationseigenschaft folgt aus  $\lambda x^d\cdot \mu x^e=\lambda \mu x^{d+e}$,  und dies ist gleich $\lambda \mu a{x}^{d+e-n}$, falls  $d+e\ge n$  ist, und andernfalls gleich $\lambda \mu x^{d+e}$. So oder so ist es ein Element aus $A_{d+e}$.