Da 
keine dritte Wurzel in 
besitzt, ist das Polynom 
in ![{\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05854fb7f5090d865105d7297fa178c8eb802fbf)
irreduzibel.
Daher ist
-
![{\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/(X^{3}-q)=K\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aba1067fd5fbd8877a8d43a82ac628f507a2ab0c)
eine Körpererweiterung vom Grad drei. Es sei ![{\displaystyle {}r={\sqrt[{3}]{q}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efc9c2076c3c964586649a6302be8dc6200c9a0d)
die eindeutig bestimmte reelle dritte Wurzel aus . Durch die Zuordnung 
können wir 
als Unterkörper von 
auffassen. In
(und in 
)
hat das Polynom die Zerlegung
-
Da es in nur eine dritte Wurzel gibt, und da 
keine Nullstelle des rechten Faktors ist, ist das Polynom
-
über und erst recht über irreduzibel. Von daher ist nicht der Zerfällungskörper. In der quadratischen Erweiterung
-
![{\displaystyle {}K\subseteq K[Y]/(Y^{2}+rY+r^{2})=L\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2eea4a02b0375950ed9a935cafbff94a72e2b21)
zerfällt das Polynom 
und damit auch in Linearfaktoren. Der Grad des Zerfällungskörpers ist also
nach der Gradformel
gleich 
.
Um eine Realisierung des Zerfällungskörpers in 
zu erhalten, betrachten wir
-
Die Lösungen dazu sind in gleich
-
![{\displaystyle {}y=\pm {\sqrt {-3}}{\frac {r}{2}}-{\frac {r}{2}}=\pm {\sqrt {-3}}{\frac {\sqrt[{3}]{q}}{2}}-{\frac {\sqrt[{3}]{q}}{2}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89281d2a0461a34adcc088108b4c9f3450a45539)
Daher ist der Zerfällungskörper gleich
-
![{\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{q}},{\sqrt {-3}}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b96d6a4886c32aaaf5b710c30ad0869bd46d9169)
