Relationen/Eigenschaften/Abbildungen/Textabschnitt

Abbildungen kann man als spezielle Relationen auffassen.

Definition

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

$F\colon L\longrightarrow M$

eine Abbildung. Dann nennt man

${}\Gamma =\Gamma _{F}={\left\{(x,F(x))\mid x\in L\right\}}\subseteq L\times M\,$

den Graphen der Abbildung ${}F$.

Abbildungen und ihre Graphen sind im wesentlichen äquivalente Objekte. Um Abbildungen innerhalb der Relationen herauszustellen, sind die folgenden Begriffsbildungen sinnvoll (die Begriffe sind sinnvoll, ob die gewählten Bezeichnungen sinnvoll sind, ist eine andere Frage).

Definition

Eine Relation  ${}R\subseteq M\times N$  heißt linkseindeutig, wenn es zu jedem  ${}y\in N$  maximal ein  ${}x\in M$  mit  ${}(x,y)\in R$  gibt.

Definition

Eine Relation  ${}R\subseteq M\times N$  heißt rechtseindeutig, wenn es zu jedem  ${}x\in M$  maximal ein  ${}y\in N$  mit  ${}(x,y)\in R$  gibt.

Definition

Eine Relation  ${}R\subseteq M\times N$  heißt linksvollständig, wenn es zu jedem  ${}x\in M$  ein  ${}y\in N$  mit  ${}(x,y)\in R$  gibt.

Definition

Eine Relation  ${}R\subseteq M\times N$  heißt rechtsvollständig, wenn es zu jedem  ${}y\in N$  ein  ${}x\in M$  mit  ${}(x,y)\in R$  gibt.

Wenn ein Paar  ${}(x,y)\in R$  gegeben ist, so meint rechtseindeutig, dass (bei gegebenem) ${}x$ die rechte Seite, also das ${}y$, eindeutig bestimmt ist. Wenn man sich aber die Relation auf ${}M\times N$ dadurch gegeben denkt, dass zwischen den Elementen der linken Menge ${}M$ und den Elementen der rechten Menge ${}N$ genau dann eine verbindende Strecke (kein Pfeil) vorliegt, wenn das entsprechende Paar zu ${}R$ gehört, so hat rechtseindeutig die Auswirkung, dass von jedem Punkt der linken Seite (!) aus maximal eine Verbindungsstrecke abgeht.

Lemma

Eine Relation  ${}R\subseteq M\times N$ 

ist genau dann eine (der Graph einer) Abbildung, wenn sie linksvollständig und rechtseindeutig ist.

Beweis

Eine Abbildung

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

ordnet jedem  ${}x\in M$  genau ein  ${}y\in N$  zu, das ist nach Definition die Linksvollständigkeit und die Rechtseindeutigkeit.

$\Box$

Eine rechtseindeutige Relation, die nicht unbedingt linksvollständig ist, nennt man auch manchmal eine „partielle Abbildung“, eine (insbesondere linksvollständige) Relation nennt man manchmal auch eine „mehrdeutige Abbildung“.

Bemerkung  

Eine Abbildung ${}f\colon M\rightarrow N$ ist genau dann surjektiv, wenn der Graph der Abbildung (als Relation aufgefasst) rechtsvollständig ist, und genau dann injektiv, wenn der Graph linkseindeutig ist.