Restklassenring (Z)/Einheitengruppe/Charakterisierung zyklisch/Fakt/Beweis

Beweis

In den beschriebenen Fällen ist die Einheitengruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ zyklisch aufgrund von Fakt, Bemerkung und der Isomorphie

${}{\left(\mathbb {Z} /(2p^{r})\right)}^{\times }\cong {\left(\mathbb {Z} /(2)\right)}^{\times }\times {\left(\mathbb {Z} /(p^{r})\right)}^{\times }\cong {\left(\mathbb {Z} /(p^{r})\right)}^{\times }\,.$

Es sei also umgekehrt ${}n$ mit der Eigenschaft gegeben, dass ${}{\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ zyklisch sei. Es sei  ${}n=2^{r}\cdot p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}$  die kanonische Primfaktorzerlegung mit ungeraden Primzahlen ${}p_{1},\ldots ,p_{k}$ und  ${}r_{i}\geq 1$,  die nach dem Chinesischen Restsatz zur Isomorphie

${\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }={\left(\mathbb {Z} /(2^{r})\right)}^{\times }\times {\left(\mathbb {Z} /(p_{1}^{r_{1}})\right)}^{\times }\times {\left(\mathbb {Z} /(p_{2}^{r_{2}})\right)}^{\times }\times \cdots \times {\left(\mathbb {Z} /(p_{k}^{r_{k}})\right)}^{\times }\,$

führt. Da Restklassengruppen von zyklischen Gruppen wieder zyklisch sind, folgt nach Fakt, dass  ${}r=0,1$  oder ${}2$ ist. Ein Produkt von zyklischen Gruppen ist nur dann zyklisch, wenn die beteiligten Ordnungen paarweise teilerfremd sind. Die Ordnungen von ${}{\left(\mathbb {Z} /(p_{i}^{r_{i}})\right)}^{\times }$ sind aber gerade für ${}p_{i}$ ungerade und  ${}r_{i}\geq 1$,  und die Ordnung von ${}{\left(\mathbb {Z} /(2^{r})\right)}^{\times }$ ist gerade für  ${}r\geq 2$.  Also ist  ${}k\leq 1$.  Bei  ${}k=1$  ist  ${}r=2$  nicht möglich. Bei  ${}k=0$  verbleiben die angeführten Fälle  ${}n=1,2,4$. 

Zur bewiesenen Aussage