Restklassenring (Z)/Einheitengruppe/Charakterisierung zyklisch/Fakt/Beweis

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Beweis

In den beschriebenen Fällen ist die Einheitengruppe zyklisch aufgrund von Fakt, Bemerkung und der Isomorphie

Sei also umgekehrt mit der Eigenschaft gegeben, dass zyklisch sei. Es sei die kanonische Primfaktorzerlegung mit ungeraden Primzahlen und , die nach dem Chinesischen Restsatz zur Isomorphie

führt. Da Restklassengruppen von zyklischen Gruppen wieder zyklisch sind, folgt nach Fakt, dass oder ist. Ein Produkt von zyklischen Gruppen ist nur dann zyklisch, wenn die beteiligten Ordnungen paarweise teilerfremd sind. Die Ordnungen von sind aber gerade für ungerade und , und die Ordnung von ist gerade für . Also ist . Bei ist nicht möglich. Bei verbleiben die angeführten Fälle .