Restklassenring (Z)/Einheitengruppe/Charakterisierung zyklisch/Fakt/Beweis

Beweis

In den beschriebenen Fällen ist die Einheitengruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ zyklisch aufgrund von Fakt, Bemerkung und der Isomorphie

${}{\left(\mathbb {Z} /(2p^{r})\right)}^{\times }\cong {\left(\mathbb {Z} /(2)\right)}^{\times }\times {\left(\mathbb {Z} /(p^{r})\right)}^{\times }\cong {\left(\mathbb {Z} /(p^{r})\right)}^{\times }\,.$

Es sei also umgekehrt ${}n$ mit der Eigenschaft gegeben, dass ${}{\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ zyklisch sei. Es sei ${}n=2^{r}\cdot p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}$ die kanonische Primfaktorzerlegung mit ungeraden Primzahlen ${}p_{1},\ldots ,p_{k}$ und ${}r_{i}\geq 1$, die nach dem Chinesischen Restsatz zur Isomorphie

${\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }={\left(\mathbb {Z} /(2^{r})\right)}^{\times }\times {\left(\mathbb {Z} /(p_{1}^{r_{1}})\right)}^{\times }\times {\left(\mathbb {Z} /(p_{2}^{r_{2}})\right)}^{\times }\times \cdots \times {\left(\mathbb {Z} /(p_{k}^{r_{k}})\right)}^{\times }\,$

führt. Da Restklassengruppen von zyklischen Gruppen wieder zyklisch sind, folgt nach Fakt, dass ${}r=0,1$ oder ${}2$ ist. Ein Produkt von zyklischen Gruppen ist nur dann zyklisch, wenn die beteiligten Ordnungen paarweise teilerfremd sind. Die Ordnungen von ${}{\left(\mathbb {Z} /(p_{i}^{r_{i}})\right)}^{\times }$ sind aber gerade für ${}p_{i}$ ungerade und ${}r_{i}\geq 1$, und die Ordnung von ${}{\left(\mathbb {Z} /(2^{r})\right)}^{\times }$ ist gerade für ${}r\geq 2$. Also ist ${}k\leq 1$. Bei ${}k=1$ ist ${}r=2$ nicht möglich. Bei ${}k=0$ verbleiben die angeführten Fälle ${}n=1,2,4$.

Zur bewiesenen Aussage