Restklassenringe (Z)/Einheitengruppe/Primzahlpotenz/Zyklisch/Fakt/Beweis

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Beweis

Nach Fakt ist die Abbildung

surjektiv. Die Einheitengruppe ist zyklisch aufgrund von Fakt. Sei ein erzeugendes (also primitives) Element dieser Gruppe (der Ordnung ) und sei ein Element, das auf abgebildet wird. Die Ordnung von ist dann ein positives Vielfaches von . Es gibt daher auch ein (nämlich eine gewissse Potenz von ), das genau die Ordnung besitzt.

Auf der anderen Seite gibt es nach Fakt ein Element , das den Kern von erzeugt und die Ordnung besitzt. Die Ordnung von ist somit das kleinste gemeinsame Vielfache von und , also . Da dies die Gruppenordnung ist, muss die Gruppe zyklisch sein und ist ein Erzeuger.