Restklassenringe (Z)/Einheitengruppe/Primzahlpotenz/Zyklisch/Fakt mit Beweisklappe

Satz

Es sei ${}p\geq 3$ eine Primzahl und ${}r\geq 1$. Dann ist die Einheitengruppe

${\left(\mathbb {Z} /(p^{r})\right)}^{\times }$

des Restklassenrings ${}\mathbb {Z} /(p^{r})$ zyklisch.

Beweis

Nach Fakt ist die Abbildung

$\varphi \colon {\left(\mathbb {Z} /(p^{r})\right)}^{\times }\longrightarrow {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$

surjektiv. Die Einheitengruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ ist zyklisch aufgrund von Fakt. Sei ${}v\in {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ ein erzeugendes (also primitives) Element dieser Gruppe (der Ordnung $p-1$) und sei ${}u\in {\left(\mathbb {Z} /(p^{r})\right)}^{\times }$ ein Element, das auf ${}v$ abgebildet wird. Die Ordnung von ${}u$ ist dann ein positives Vielfaches von ${}p-1$. Es gibt daher auch ein ${}w\in {\left(\mathbb {Z} /(p^{r})\right)}^{\times }$ (nämlich eine gewissse Potenz von ${}u$), das genau die Ordnung ${}p-1$ besitzt.

Auf der anderen Seite gibt es nach Fakt ein Element ${}a\in {\left(\mathbb {Z} /(p^{r})\right)}^{\times }$, das den Kern von ${}\varphi$ erzeugt und die Ordnung ${}p^{r-1}$ besitzt. Die Ordnung von ${}aw$ ist somit das kleinste gemeinsame Vielfache von ${}p^{r-1}$ und ${}p-1$, also ${}p^{r-1}(p-1)$. Da dies die Gruppenordnung ist, muss die Gruppe zyklisch sein und ${}aw$ ist ein Erzeuger.

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