Restklassenringe (Z)/zusammenhängend/Charakterisierungen/Aufgabe

Es sei ${}n\geq 2$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${}n$ ist die Potenz einer Primzahl.
2. Der Restklassenring ${}{\mathbb {Z} }/(n)$ ist zusammenhängend.
3. Der Restklassenring ${}{\mathbb {Z} }/(n)$ ist lokal.
4. Die Reduktion von ${}{\mathbb {Z} }/(n)$ ist ein Körper.
5. Jeder Nullteiler von ${}{\mathbb {Z} }/(n)$ ist nilpotent.
6. Der Restklassenring ${}{\mathbb {Z} }/(n)$ besitzt genau ein Primideal.
7. Der Restklassenring ${}{\mathbb {Z} }/(n)$ besitzt genau ein maximales Ideal.

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