Restklassenringe (Z)/zusammenhängend/Charakterisierungen/Aufgabe

Es sei  $n\ge 2$  eine natürliche Zahl. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

1. $n$ ist die Potenz einer Primzahl.
2. Der Restklassenring $\mathbb{Z}/(n)$ ist zusammenhängend.
3. Der Restklassenring $\mathbb{Z}/(n)$ ist lokal.
4. Die Reduktion von $\mathbb{Z}/(n)$ ist ein Körper.
5. Jeder Nullteiler von $\mathbb{Z}/(n)$ ist nilpotent.
6. Der Restklassenring $\mathbb{Z}/(n)$ besitzt genau ein Primideal.
7. Der Restklassenring $\mathbb{Z}/(n)$ besitzt genau ein maximales Ideal.

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