Richtungsableitung/K/Lineare Abbildung/Beispiel

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $𝕂$-Vektorräume und sei

$L:V⟶W$

eine lineare Abbildung. Dann existiert die Richtungsableitung in jedem Punkt  $P\in V$  und in jede Richtung  $v\in V$,  und zwar ist

$\left(D_{v}L\right)\left(P\right)=L(v),$

insbesondere ist also die Richtungsableitung unabhängig vom Punkt. Dies folgt direkt durch Betrachten des Differenzenquotienten; es ist nämlich

$\frac{L(P+sv)-L(P)}{s}=\frac{L(P)+sL(v)-L(P)}{s}=\frac{sL(v)}{s}=L(v).$

Daher ist auch der Limes für $s\to 0$ gleich $L(v)$.