Richtungsableitung/K/Lineare Realisierung/Differenzierbare Kurve/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume, ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge, und ${}f\colon G\rightarrow W$ eine Abbildung. Es sei ${}P\in G$ ein Punkt und ${}v\in V$ ein fixierter Vektor. Zeige, dass ${}f$ in ${}P$ in Richtung ${}v$ genau dann differenzierbar ist, wenn die (auf einem Intervall bzw. einer offenen Ballumgebung um ${}0\in {\mathbb {K} }$ definierte) Kurve

$g\colon I\longrightarrow W,\,t\longmapsto g(t)=f(P+tv),$

differenzierbar ist, und dass in diesem Fall die Gleichheit

${}{\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}=g'(0)\,$

gilt.

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