Richtungsableitung/K/Lineare Realisierung/Differenzierbare Kurve/Fakt

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume, ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge, und ${}f\colon G\rightarrow W$ eine Abbildung. Es sei ${}P\in G$ ein Punkt und ${}v\in V$ ein fixierter Vektor.

Dann ist ${}f$ in ${}P$ in Richtung ${}v$ genau dann differenzierbar, wenn die (auf einem Intervall bzw. einer offenen Ballumgebung um ${}0\in {\mathbb {K} }$ definierte) Kurve

$g\colon I\longrightarrow W,\,t\longmapsto g(t)=f(P+tv),$

in ${}0$ differenzierbar ist. In diesem Fall ist

${}{\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}=g'(0)\,.$

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