Riemannsche Fläche/Überlagerung/Schnitte/Prägarbe/Beispiel

Zu einer holomorphen Überlagerung $p:Y\to X$ von riemannschen Flächen $Y$ und $X$ und eine zusammenhängende offene Menge  $U\subseteq X$,  über der die Überlagerung trivialisiert mit  $p^{-1}(U)\cong U\times F$  und einem diskreten Raum $F$, ist ein stetiger Schnitt einfach gegeben durch die Wahl eines Elementes  $w\in F$,  da unter diesen Bedingungen der Schnitt ganz in einer Kopie von $U$ in $Y$ landet und daher die Umkehrabbildung zur durch $p$ induzierten Homöomorphie ist. Insbesondere stimmt die Prägarbe der stetigen Schnitte mit der Prägarbe der holomorphen Schnitte überein. Bei einer nichtidentischen Überlagerung von zusammenhängenden Flächen gibt es keinen globalen Schnitt.

Bei einer endlichen holomorphen Abbildung $p:Y\to X$ und einer offenen Umgebung eines Punktes  $x\in X$  des Verzweigungsbildes und einer hinreichend kleinen offenen Umgebung gibt es Schnitte in diejenigen Scheibenumgebungen der Urbilder, auf denen keine Verzweigung stattfindet, aber nicht in die anderen.