Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung/Verzweigung/Einführung/Textabschnitt

Bei einer Überlagerung mit konstanter endlicher Blätterzahl sind die Fasern alle endliche diskrete Mengen zu dieser Anzahl. Bei der Abbildung

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{n},$

sind die Fasern zu ${}z\neq 0$ alle ${}n$-elementig, dagegen ist die Faser im Nullpunkt einelementig. Allerdings kann man diese Abweichung auffangen, indem man die Nullstellen der Ableitungen mitzählt. In diesem Sinne ist für jedes Polynom ${}P$ vom Grad ${}n$ und jeden Punkt ${}a$ die Faser über ${}a$ ${}n$-anzahlig, wenn man die Exponenten (Vielfachheiten) der Linearfaktoren von ${}P-a$ mitzählt. Dies gilt allgemeiner für holomorphe Abbildungen, die endlich sind, also endliche Fasern haben und eigentlich sind.

Definition

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$. Es sei ${}x\in X$ ein Punkt mit ${}y=\varphi (x)$. Es sei ${}z$ ein lokaler Parameter um ${}y$. Dann nennt man die Nullstellenordnung der (in einer offenen Umgebung von ${}x$ definierten) holomorphen Funktion ${}z\circ \varphi$ im Punkt ${}x$ den Verzweigungsindex von ${}\varphi$ in ${}x$. Sie wird mit ${}\operatorname {Verz} {\left(x{|}\varphi (x)\right)}$ bezeichnet.

Statt Verzweigungsindex sagt man auch Verzweigungsordnung, was insofern etwas problematisch ist, dass die Vielfachheit des Verzweigungsdivisor um ${}1$ niedriger ist. Wenn in einem Punkt ${}x\in X$ der Verzweigungsindex ${}\geq 2$ ist, so sagt man, dass dort Verzweigung vorliegt. Die Menge aller Verzweigungspunkte nennt man auch den Verzweigungsort und die Bildpunkte aller Verzweigungspunkte nennt man auch das Verzweigungsbild. Über einem Punkt des Verzweigungsbildes liegt also zumindest ein Verzweigungspunkt, es muss aber nicht jeder Urbildpunkt ein Verzweigungspunkt sein. Der Verzweigungsort ist eine diskrete Teilmenge, da Verzweigung lokal durch das Verschwinden der ersten Ableitung charakterisiert ist. Das Verzweigungsbild ist im endlichen Fall ebenfalls diskret.

Lemma

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$ und sei ${}x\in X$.

Dann stimmt der Verzweigungsindex von ${}\varphi$ in ${}x$ mit dem Exponenten einer lokalen Beschreibung von ${}\varphi$ im Sinne von Fakt überein.

Beweis

Wegen der Nichtkonstanz können wir nach Fakt davon ausgehen, dass eine Potenzierung ${}z\mapsto z^{n}$ auf einer Kreisscheibe vorliegt und dass ${}x$ der Nullpunkt ist. Die Nullstellenordnung von ${}z^{n}$ ist aber ${}n$.

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Korollar

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$.

Dann ist ${}\varphi$ genau dann unverzweigt, wenn ${}\varphi$ ein lokaler Homöomorphismus ist.

Beweis

Unverzweigt bedeutet nach Fakt, dass die Abbildung lokal in geeigneten Koordinaten die Form ${}z\mapsto z$ besitzt. Dabei handelt es sich um einen lokalen Homöomorphismus. Bei ${}z\mapsto z^{n}$ mit ${}n\geq 2$ liegt lokal keine Bijektion vor.

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