Riemannsche Fläche/Endliche Abbildung/Überlagerung/Lokaler Homöomorphismus/Fakt/Beweis

Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) ergibt sich aus Fakt. Von (3) nach (2) folgt aus Fakt. Zum Beweis von (1) nach (3) können wir annehmen, dass ${}Y$ eine Kreisscheibe ist, da die Endlichkeit bei Basiswechsel erhalten bleibt. Wegen Fakt und der vorausgesetzten Unverzweigtheit liegen über jedem Punkt ${}y\in Y$ genau ${}n$ Punkte. Zu einem fixierten Punkt ${}y\in Y$ gibt es zu jedem Urbildpunkt ${}x_{1},\ldots ,x_{n}\in X$ eine offene Umgebung ${}x_{i}\in U_{i}$, die homöomorph auf eine offene Teilmenge von ${}Y$ abbildet. Diese können wir als disjunkt annehmen. Indem wir zum Durchschnitt ${}V$ der Bilder übergehen, können wir davon ausgehen, dass die offenen Umgebungen homöomorph auf ${}V$ abbilden. Das Urbild von ${}V$ besteht dann aus genau dieser Vereinigung, da es andernfalls für einen Punkt mehr als ${}n$ Urbildpunkte geben würde.

Zur bewiesenen Aussage