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Riemannsche Fläche/Endliche Abbildung/Überlagerung/Lokaler Homöomorphismus/Fakt/Beweis

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Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) ergibt sich aus Fakt. Von (3) nach (2) folgt aus Fakt. Zum Beweis von (1) nach (3) können wir annehmen, dass eine Kreisscheibe ist, da die Endlichkeit bei Basiswechsel erhalten bleibt. Wegen Fakt und der vorausgesetzten Unverzweigtheit liegen über jedem Punkt genau Punkte. Zu einem fixierten Punkt gibt es zu jedem Urbildpunkt eine offene Umgebung , die homöomorph auf eine offene Teilmenge von abbildet. Diese können wir als disjunkt annehmen. Indem wir zum Durchschnitt der Bilder übergehen, können wir davon ausgehen, dass die offenen Umgebungen homöomorph auf abbilden. Das Urbild von besteht dann aus genau dieser Vereinigung, da es andernfalls für einen Punkt mehr als Urbildpunkte geben würde.