Riemannsche Fläche/Garbe/Halm/Textabschnitt

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche. Die Zuordnung, die jeder offenen Menge ${}U\subseteq X$ den Ring ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ der auf ${}U$ definierten holomorphen Funktionen zuordnet, ist eine Garbe von kommutativen Ringen. Die entsprechenden Eigenschaften wurden in Fakt nachgewiesen. Ebenso ist die Zuordnung ${}U\mapsto \Gamma {\left(U,{\mathcal {M}}\right)}$, die einer offenen Menge die auf ihr definierten meromorphen Funktionen zuordnet, eine Garbe. Dabei liegt eine Untergarbenbeziehung ${}{\mathcal {O}}_{X}\subseteq {\mathcal {M}}$ vor.

Die Halme der Garbe der holomorphen Funktionen ${}{\mathcal {O}}_{X,x}$ sind für alle Punkte isomorph, und zwar isomorph zum Ring des Halmes der holomorphen Funktionen ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {C} },0}$. Dies ist der Ring der konvergenten Potenzreihen in einer komplexen Variablen, wobei sich Konvergenz auf einen positiven Konvergenzradius bezieht, der von der Potenzreihe abhängt. Ein Element eines solchen Halmes nennt man holomorpher Funktionskeim.