Riemannsche Fläche/Hauptdivisor/Garbentheoretische Interpretation/Fakt

Es sei ${}X$ eine zusammenhängende riemannsche Fläche.

Dann liegt eine kurze exakte Garbensequenz

$1\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {M}}_{X}^{\times }\,{\stackrel {\operatorname {div} {\left(-\right)}}{\longrightarrow }}\,{{\mathcal {D}}iv}_{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

vor, wobei in der Mitte die Garbe der meromorphen Funktionen ${}\neq 0$ und rechts die Garbe der Divisoren steht. Insbesondere ist

${}{\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\cong {{\mathcal {D}}iv}_{X}\,.$

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