Riemannsche Fläche/Holomorphe Ableitungssequenz/Exponentialsequenz/Beziehung/Aufgabe

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche. Zeige, dass das folgende kommutative Diagramm von Garben von kommutativen Gruppen auf ${}X$ mit exakten Zeilen und Spalten vorliegt.

${\begin{matrix}&&0&&0&&0&&\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\0&\longrightarrow &\mathbb {Z} &\longrightarrow &\mathbb {Z} &\longrightarrow &0&\longrightarrow &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\0&\longrightarrow &{\mathbb {C} }&\longrightarrow &{\mathcal {O}}_{X}&\longrightarrow &\Omega _{X}&\longrightarrow &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\0&\longrightarrow &{\mathbb {C} }^{\times }&\longrightarrow &{\mathcal {O}}_{X}^{\times }&\longrightarrow &\Omega _{X}\ &\longrightarrow &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\&&0&&0&&0&&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

Dabei steht in der mittleren Horizontalen die Sequenz aus Fakt und in der ersten Vertikalen die Sequenz von lokal konstanten Garben zur Exponentialsequenz aus Beispiel und in der mittleren Vertikalen die holomorphe Exponentialsequenz, vergleiche Beispiel. In der unteren Horizontalen steht rechts die logarithmische Ableitung, die eine Einheit ${}f$ auf ${}f^{-1}df$ abbildet.

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