Topologischer Raum/Komplexe Exponentialsequenz/Stetig/Beispiel

Wir betrachten die kurze exakte Exponentialsequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,2\pi {\mathrm {i} }\mathbb {Z} \,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }\,{\stackrel {\operatorname {exp} }{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }^{\times }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

von topologischen Gruppen. Die Exaktheit in der Mitte beruht auf Fakt  (2), die Homomorphieeigenschaft beruht auf der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion und die komplexe Exponentialfunktion bildet nach Fakt surjektiv auf ${}{\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ ab (sie ist eine Überlagerung, siehe Beispiel). Da es lokal einen Logarithmus gibt, sind die Voraussetzungen von Fakt erfüllt. Somit gibt es zu jedem topologischen Raum ${}X$ eine kurze exakte Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,\mathbb {Z} )\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,{\mathbb {C} })\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,{\mathbb {C} }^{\times })\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0,$

die die (stetige komplexe) Exponentialsequenz heißt. Links steht die lokal konstante Garbe mit Werten in ${}\mathbb {Z}$, in der Mitte die Garbe der komplexwertigen stetigen Funktionen und rechts die Garbe der nullstellenfreien komplexwertigen stetigen Funktionen. Wenn man ${}X={\mathbb {C} }^{\times }$ setzt, so ist die globale Auswertung der hinteren Abbildung nicht surjektiv, da die Identität nicht im Bild liegt.