Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialform/Geschlossener Weg/Exaktheitstest/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei  $c=\delta (\omega )\in H^1(X,ℂ)$  bezüglich der kurzen exakten Garbensequenz

$0\stackrel{}{⟶}ℂ\stackrel{}{⟶}{𝒪}_X\stackrel{d}{⟶}{\Omega }_X\stackrel{}{⟶}0$

(siehe Fakt). Die Exaktheit von $\omega$ bedeutet, dass es eine holomorphe Funktion $h$ auf $X$ mit  $\omega =dh$  gibt. Dies ist aufgrund der langen Kohomologiesequenz äquivalent zu

$\delta (\omega )=0.$

Wegen Fakt folgt daher die Aussage aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage