Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktionskeime/Analytische Fortsetzung/Ausbreitungsraum/Liftung/Fakt/Beweis

Beweis

Es gebe eine analytische Fortsetzung von ${}f$ nach ${}g$. D.h. es gibt eine Intervallunterteilung

${}0=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n-1}<t_{n}=1\,,$

zusammenhängende offene Mengen ${}U_{i}\subseteq X$ mit ${}\gamma ([t_{i-1},t_{i}]\subseteq U_{i}$ und holomorphe Funktionen ${}f_{i}\in \Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{X})$ derart, dass ${}f_{1}=f$, ${}f_{n}=g$ und ${}f_{i}$ und ${}f_{i+1}$ in einer offenen Umgebung von ${}\gamma (t_{i})$ übereinstimmen. Die zugehörigen offenen Mengen ${}(U_{i},f)\subseteq E$ bilden unter ${}p$ nach Fakt homöomorph auf ${}U_{i}$ ab. Wir definieren die Liftung ${}{\tilde {\gamma }}$ durch

${}{\tilde {\gamma }}={\left(p{|}_{(U_{i},f_{i})}\right)}^{-1}\circ \gamma _{i}\,.$

In einer offenen Umgebung von ${}\gamma (t_{i})$ (innerhalb von $U_{i}\cap U_{i+1}$) stimmen ${}f_{i}$ und ${}f_{i+1}$ überein und daher stimmen darauf die stückweisen Liftungen überein.

Wenn umgekehrt eine Liftung ${}{\tilde {\gamma }}$ existiert, so wird die kompakte Bildkurve ${}{\tilde {\gamma }}([0,1])\subseteq E$ durch endlich viele offene Mengen der Form ${}(U_{i},f_{i})$, ${}i=1,\ldots ,n$, mit

${}(U_{i},f_{i})\cap (U_{i+1},f_{i+1})\neq \emptyset \,$

überdeckt. Diese Daten konstituieren eine analytische Fortsetzung.

Zur bewiesenen Aussage