Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktionskeime/Analytische Fortsetzung/Definition

Analytische Fortsetzung

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche und sei ${}\gamma \colon [0,1]\rightarrow X$ ein stetiger Weg mit  ${}\gamma (0)=x$  und  ${}\gamma (1)=y$.  Man sagt, dass ein holomorpher Funktionskeim  ${}g\in {\mathcal {O}}_{X,y}$  aus einem holomorphen Funktionskeim  ${}f\in {\mathcal {O}}_{X,x}$  durch analytische Fortsetzung längs ${}\gamma$ hervorgeht, wenn es Punkte  ${}0=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n-1}<t_{n}=1$,  zusammenhängende offene Mengen  ${}U_{i}\subseteq X$  mit  ${}\gamma ([t_{i-1},t_{i}]\subseteq U_{i}$  und holomorphe Funktionen  ${}f_{i}\in \Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{X})$  derart gibt, dass  ${}f_{1}=f$,   ${}f_{n}=g$  und ${}f_{i}$ und ${}f_{i+1}$ in einer offenen Umgebung von ${}\gamma (t_{i})$ übereinstimmen.