Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktionskeime/Analytische Fortsetzung/Definition

Analytische Fortsetzung

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche und sei $γ : [0, 1] \to X$ ein stetiger Weg mit $γ (0) = x$ und $γ (1) = y$ . Man sagt, dass ein holomorpher Funktionskeim $g \in 𝒪_{X, y}$ aus einem holomorphen Funktionskeim $f \in 𝒪_{X, x}$ durch analytische Fortsetzung längs $γ$ hervorgeht, wenn es Punkte $0 = t_{0} < t_{1} < \dots < t_{n - 1} < t_{n} = 1$ , zusammenhängende offene Mengen $U_{i} \subseteq X$ mit $γ ([t_{i - 1}, t_{i}] \subseteq U_{i}$ und holomorphe Funktionen $f_{i} \in Γ (U_{i}, 𝒪_{X})$ derart gibt, dass $f_{1} = f$ , $f_{n} = g$ und $f_{i}$ und $f_{i + 1}$ in einer offenen Umgebung von $γ (t_{i})$ übereinstimmen.