Riemannsche Fläche/Kompakt/Erste Strukturkohomologie/Hauptteilrealisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt haben wir die kurze exakte Garbensequenz

$0\stackrel{}{⟶}{𝒪}_X\stackrel{}{⟶}ℳ\stackrel{}{⟶}𝒯\stackrel{}{⟶}0.$

Die zugehörige lange exakte Kohomologiesequenz enthält

$0⟶ℂ⟶\Gamma (X,ℳ)⟶\Gamma (X,𝒯)⟶H^1(X,{𝒪}_X)⟶H^1(X,ℳ)⟶.$

Es genügt daher zu zeigen, dass die Abbildung

$\Gamma (X,𝒯)⟶H^1(X,{𝒪}_X)$

surjektiv ist. Nach Aufgabe ist für hinreichend viele Punkte $P_1,\dots ,P_n$ die kurze exakte Sequenz

$0\stackrel{}{⟶}{𝒪}_X\stackrel{}{⟶}{𝒪}_X(\sum _{i=1}^n{P}_i)\stackrel{}{⟶}{𝒪}_X(\sum _{i=1}^n{P}_i)/{𝒪}_X\stackrel{}{⟶}0$

derart, dass

$\delta :H^0(X,{𝒪}_X(\sum _{i=1}^n{P}_i)/{𝒪}_X)⟶H^1(X,{𝒪}_X)$

surjektiv ist. Wegen

${𝒪}_X(\sum _{i=1}^n{P}_i)\subseteq ℳ$

hat man einen Garbenhomomorphismus

${𝒪}_X(\sum _{i=1}^n{P}_i)/{𝒪}_X⟶ℳ/{𝒪}_X=𝒯$

und der verbindende Homomorphismus faktorisiert dadurch.

Zur bewiesenen Aussage