Riemannsche Fläche/Kompakt/Erste Strukturkohomologie/Hauptteilrealisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt haben wir die kurze exakte Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {M}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {T}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0.$

Die zugehörige lange exakte Kohomologiesequenz enthält

$0\longrightarrow {\mathbb {C} }\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {T}}\right)}\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {M}})\longrightarrow .$

Es genügt daher zu zeigen, dass die Abbildung

$\Gamma {\left(X,{\mathcal {T}}\right)}\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$

surjektiv ist. Nach Aufgabe ist für hinreichend viele Punkte ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ die kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}(\sum _{i=1}^{n}P_{i})\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}(\sum _{i=1}^{n}P_{i})/{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

derart, dass

$\delta \colon H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(\sum _{i=1}^{n}P_{i})/{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$

surjektiv ist. Wegen

${}{\mathcal {O}}_{X}(\sum _{i=1}^{n}P_{i})\subseteq {\mathcal {M}}\,$

hat man einen Garbenhomomorphismus

${\mathcal {O}}_{X}(\sum _{i=1}^{n}P_{i})/{\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow {\mathcal {M}}/{\mathcal {O}}_{X}={\mathcal {T}}$

und der verbindende Homomorphismus faktorisiert dadurch.

Zur bewiesenen Aussage