Riemannsche Fläche/Kompakt/Holomorphe Differentialform/Zugehörige Periodenabbildung/Injektiv/Fakt

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.

Dann gibt es einen natürlichen injektiven Gruppenhomomorphismus

$H^{0}(X,\Omega _{X})\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(\pi _{1}(X),{\mathbb {K} }\right)},\,\omega \longmapsto {\left(\gamma \mapsto \int _{\gamma }\omega \right)},$

von den globalen holomorphen Differentialformen in den Homorphismenraum von der Fundamentalgruppe ${}\pi _{1}(X)$ nach ${}{\mathbb {K} }$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen