Riemannsche Fläche/Kompakt/Invertierbare Garbe/Untergarbe/Quotientengarbe/Gradbeziehung/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt und wegen der Kompaktheit ist der Träger der Quotientengarbe endlich und der Raum der globalen Schnitte dieser Garbe besitzt eine endliche Dimension. Es sei ${}{\mathcal {L}}={\mathcal {O}}_{X}(D)$ und ${}{\mathcal {M}}={\mathcal {O}}_{X}(E)$ und wegen der vorausgesetzten Inklusion gilt ${}D\leq E$ nach Fakt  (2). Wir tensorieren die Gesamtsituation mit ${}{\mathcal {L}}^{-1}$. Dabei ändert sich die Graddifferenz zwischen den beiden invertierbaren Garben nicht und die Quotientengarbe ändert sich nicht, da sie einen endlichen Träger besitzt und lokal mit der Strukturgarbe tensoriert wird. Es liegt also eine Situation

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}(F)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}(F)/{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

mit einem effektiven Divisor ${}F$ vor. Somit folgt die Aussage aus Aufgabe.

Zur bewiesenen Aussage