Riemannsche Fläche/Kompakt/Meromorphe Funktionen/Triviale Kohomologie/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten die zur kurzen exakten Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {M}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {T}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0.$

zugehörige lange exakte Kohomologiesequenz enthält

$0\longrightarrow {\mathbb {C} }\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {T}}\right)}\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {M}})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {T}}).$

Nach Aufgabe in Verbindung mit Aufgabe ist ${}H^{1}(X,{\mathcal {T}})=0$. Nach dem Beweis zu Fakt ist

$\Gamma {\left(X,{\mathcal {T}}\right)}\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$

surjektiv. Also ist ${}H^{1}(X,{\mathcal {M}})=0$.

Zur bewiesenen Aussage