Riemannsche Fläche/Lokal konstante Funktionen/de-Rham-Kohomologie/Fakt/Beweis

Beweis

Wir arbeiten mit der kurzen exakten Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}\,{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {Z}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0,$

die sich aus dem (komplexwertigen) de-Rham-Komplex ergibt, wenn man ${}{\mathcal {Z}}:=\operatorname {kern} \left({\mathcal {E}}^{(1)}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}{\mathcal {E}}^{(2)}\right)$ setzt. Aufgrund der langen exakten Kohomologiesequenz in Verbindung mit Fakt ist

${}H^{1}(X,{\mathbb {C} })=H^{0}(X,{\mathcal {Z}})/\operatorname {bild} {\left(H^{0}(X,{\mathcal {E}}){\stackrel {d}{\longrightarrow }}H^{0}(X,{\mathcal {Z}})\right)}\,.$

Wegen der Linksexaktheit der globalen Auswertung ist

${}H^{0}(X,{\mathcal {Z}})=\operatorname {kern} \left(H^{0}(X,{\mathcal {E}}^{(1)}){\stackrel {d}{\longrightarrow }}H^{0}(X,{\mathcal {E}}^{(2)})\right)\,$

und somit stimmt der obige Ausdruck mit der Definition der ersten de-Rham-Kohomologie überein. Für den zweiten Teil siehe Aufgabe.

Zur bewiesenen Aussage