Riemannsche Fläche/Meromorphe Differentialform/Divisor/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche. Zeige, dass die Divisoren zu meromorphen Differentialformen folgenden Eigenschaften erfüllen.

1. Die Divisoren zu meromorphen Differentialformen sind linear äquivalent.
2. Für eine meromorphe Differentialform ${}\omega \neq 0$ und eine meromorphe Funktion ${}f\neq 0$ ist

   ${}\operatorname {div} {\left(f\omega \right)}=\operatorname {div} {\left(f\right)}+\operatorname {div} {\left(\omega \right)}\,.$

3. Für eine nichtkonstante meromorphe Funktion ${}f$ gilt für Punkte aus dem Träger des Hauptdivisors ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}$ die Beziehung

   ${}\operatorname {div} {\left(df\right)}_{P}=\operatorname {div} {\left(f\right)}_{P}-1\,.$

   Für Punkte außerhalb des Trägers gilt die Abschätzung

   ${}\operatorname {div} {\left(df\right)}_{P}\geq 0\,.$

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