Topologische Mannigfaltigkeiten/Endliche Überlagerung/Einführung/Textabschnitt

Definition

Eine Überlagerung ${}p\colon Y\rightarrow X$ heißt endlich, wenn jede Faser eine endliche Menge ist.

Eine stetige Abbildung heißt endlich (im topologischen Sinne), wenn die Fasern endliche Mengen sind und wenn die Abbildung eigentlich ist, also Urbilder von kompakten Mengen stets wieder kompakt sind.

Satz

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine surjektive stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen mit ${}Y$ ein Hausdorffraum und ${}X$ lokal wegzusammenhängend. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}p$ ist eine endliche Überlagerung.
2. ${}p$ ist eine Überlagerung und endlich.
3. ${}p$ ist ein lokaler Homöomorphismus, der endlich ist.

Beweis

Von (1) nach (2). Es sei ${}T\subseteq X$ kompakt mit dem Urbild ${}S:=p^{-1}(T)$. Es sei

${}S\subseteq \bigcup _{i\in I}W_{i}\,$

eine offene Überdeckung. Zu jedem Punkt ${}y\in S$ gibt es ein ${}j(y)$ mit ${}y\in W_{j(y)}$. Es sei ${}y=y_{1}\in S$ und seien ${}y_{2},\ldots ,y_{n}$ die weiteren Punkte, die auf ${}x=p(y)$ abbilden. Zu den offenen Umgebungen ${}y_{k}\in W_{j(y_{k})}$ gibt es eine offene Umgebung ${}x\in U_{x}\subseteq X$, über der ${}p$ trivialisiert und mit ${}y_{k}\in V_{k}\subseteq p^{-1}(U_{x})\cap W_{j(y_{k})}$, wobei ${}V_{k}$ das Blatt zu ${}y_{k}$ bezeichnet. Diese offenen Mengen bilden eine verfeinerte Überdeckung der Ausgangsüberdeckung. Die ${}U_{x}$ bilden dann eine offene Überdeckung von ${}T$ und somit gibt es davon eine endliche Teilüberdeckung ${}U_{1},\ldots ,U_{m}$. Die zugehörigen Blätter ${}V_{jk}$ bilden dann eine endliche Überdeckung von ${}S$

Von (2) nach (3) ist klar.

Von (3) nach (1). Sei ${}x\in X$ ein Punkt und seien ${}y_{1},\ldots ,y_{n}$ die Urbildpunkte von ${}x$. Zu jeden ${}y_{j}$ gibt es eine offene Umgebung ${}V_{j}$, die homöomorph auf ${}U_{j}$ abbildet. Man betrachtet die offene Menge

${}U:=\bigcap _{j\in J}U_{j}\,$

und ersetzt die ${}V_{j}$ durch ${}V_{j}\cap p^{-1}(U)$. Durch eine weitere Verkleinerung können wir erreichen, dass ${}U$ und damit auch die ${}V_{j}$ wegzusammenhängend ist. Wir behaupten, dass ${}\biguplus _{j\in J}V_{j}$ das Urbild von ${}U$ ist. Nehmen wir an, es gebe einen Punkt ${}y$ mit ${}p(y)\in U$, der auf keinem ${}V_{j}$ liegt. Wir betrachten einen Verbindungsweg

$\gamma \colon [0,1]\longrightarrow U$

von ${}p(y)$ nach ${}x$. Das Urbild von ${}\gamma ([0,1])$ ist kompakt. Es enthält die kompakten Kopien innerhalb von ${}V_{j}$. Zu ${}y$ gibt es eine offene Umgebung ${}V$, die homöomorph nach ${}X$ abbildet und darin gibt es eine Liftung des Teilweges durch ${}y$. Es sei ${}s$ das Supremum der reellen Zahlen ${}t$, für die eine stetige Liftung ${}{\tilde {\gamma }}$ mit ${}{\tilde {\gamma }}(0)=y$ definiert ist. Wegen Aufgabe ist die Liftung eindeutig und dieser Weg ist auf ${}[0,s[$ definiert. Aufgrund der Eigentlichkeit ist dies auch für ${}s$ definiert. Wegen der lokalen Homöomorphie gibt es bei ${}s<1$ eine offene Umgebung von ${}{\tilde {\gamma }}(s)$, die homöomorph auf eine offene Teilmenge von ${}X$ abbildet und somit würde es eine weitere Fortsetzung des Liftungsweges geben. Also ist ${}s=1$ und somit endet die Liftung in einem der Punkte über ${}x$, sagen wir in ${}y_{1}$. Dann muss aber diese Liftung mit der Liftung innerhalb von ${}V_{1}$ übereinstimmen und damit ist selbst ${}y\in V_{1}$.

$\Box$

In der Situation der vorstehenden Aussage ist, wenn der Basisraum zusammenhängend ist, die Anzahl der Elemente einer jeden Faser konstant. Man spricht von der Blätterzahl von ${}p$.