Riemannsche Flächen/Holomorphe endliche Abbildung/Körpererweiterung/Spur/Differentialform/Textabschnitt
Es sei eine endliche holomorphe Abbildung mit der Blätterzahl zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen und mit der zugehörigen endlichen Körpererweiterung . Zu einer holomorphen Differentialform auf nennt man die lokal durch
definierte holomorphe Differentialform auf die Spur von
Bei einer normalen verzweigten Abbildung ist
wobei die Summe über alle Decktransformationen läuft. Dies ist eine invariante Form und entspricht einer Differentialform auf , siehe Fakt. Es ist ja
Es sei eine endliche holomorphe Abbildung mit der Blätterzahl zwischen den riemannschen Flächen und . Es sei eine holomorphe Differentialform auf und ein stetiger Weg in . Es seien Liftungen von nach , die außerhalb der Verzweigungspunkte die möglichen Liftungen abdecken.
Dann ist
Die Integrale hängen nicht von Verzweigungspunkten ab. Wir berechnen also die Wegintegrale abschnittsweise im unverzweigten Ort. Es sei eine offene Kreisscheibe außerhalb des Verzweigungsortes und sei
Es sei der lokale Homöomorphismus und sei . Wir bezeichnen die eingeschränkten Wege auf bzw. auf wie zuvor. Dabei gilt wegen der Biholomorphie
Dann ist