Riemannsche Flächen/Holomorphe endliche Abbildung/Körpererweiterung/Spur/Differentialform/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine endliche holomorphe Abbildung mit der Blätterzahl ${}n$ zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen ${}Y$ und ${}X$ mit der zugehörigen endlichen Körpererweiterung ${}{\mathcal {M}}{\left(X\right)}\subseteq {\mathcal {M}}{\left(Y\right)}$. Zu einer holomorphen Differentialform ${}\omega$ auf ${}Y$ nennt man die lokal durch

${}\operatorname {Spur} {\left(\omega \right)}=\operatorname {Spur} {\left(dg\right)}:=d\operatorname {Spur} {\left(g\right)}\,$

definierte holomorphe Differentialform auf ${}X$ die Spur von ${}\omega$

Bei einer normalen verzweigten Abbildung ist

${}\operatorname {Spur} {\left(\omega \right)}=\sum _{\varphi }\varphi ^{*}\omega \,,$

wobei die Summe über alle Decktransformationen läuft. Dies ist eine invariante Form und entspricht einer Differentialform auf ${}X$, siehe Fakt. Es ist ja

${}{\begin{aligned}\operatorname {Spur} {\left(dg\right)}&=d\operatorname {Spur} {\left(g\right)}\\&=d{\left(\sum _{\varphi }g\circ \varphi \right)}\\&=\sum _{\varphi }d{\left(g\circ \varphi \right)}\\&=\sum _{\varphi }\varphi ^{*}dg.\end{aligned}}$

Lemma

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine endliche holomorphe Abbildung mit der Blätterzahl ${}n$ zwischen den riemannschen Flächen ${}Y$ und ${}X$. Es sei ${}\omega$ eine holomorphe Differentialform auf ${}Y$ und ${}\delta$ ein stetiger Weg in ${}X$. Es seien ${}\delta _{1},\ldots ,\delta _{n}$ Liftungen von ${}\delta$ nach ${}Y$, die außerhalb der Verzweigungspunkte die möglichen Liftungen abdecken.

Dann ist

${}\sum _{i\in I}\int _{\delta _{i}}\omega =\int _{\delta }\operatorname {Spur} {\left(\omega \right)}\,.$

Beweis

Die Integrale hängen nicht von Verzweigungspunkten ab. Wir berechnen also die Wegintegrale abschnittsweise im unverzweigten Ort. Es sei ${}U\subseteq X$ eine offene Kreisscheibe außerhalb des Verzweigungsortes und sei

${}p^{-1}(U)=\biguplus _{i\in I}V_{i}\,.$

Es sei ${}p_{i}\colon V_{i}\rightarrow U$ der lokale Homöomorphismus und sei ${}\omega {|}_{V_{i}}=\omega _{i}$. Wir bezeichnen die eingeschränkten Wege auf ${}U$ bzw. auf ${}V_{i}$ wie zuvor. Dabei gilt wegen der Biholomorphie

${}\int _{\delta _{i}}\omega =\int _{\delta _{i}}{\omega _{i}}=\int _{\delta }p_{i}^{-1*}\omega _{i}\,.$

Dann ist

${}{\begin{aligned}\sum _{i\in I}\int _{\delta _{i}}\omega &=\sum _{i\in I}\int _{\delta }p_{i}^{-1*}\omega _{i}\\&=\int _{\delta }\sum _{i\in I}p_{i}^{-1*}\omega _{i}\\&=\int _{\delta }\operatorname {Spur} {\left(\omega \right)}.\end{aligned}}$

$\Box$