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Riemannsche Flächen/Holomorphe endliche Abbildung/Körpererweiterung/Spur/Differentialform/Textabschnitt

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Es sei eine endliche holomorphe Abbildung mit der Blätterzahl zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen und mit der zugehörigen endlichen Körpererweiterung . Zu einer holomorphen Differentialform auf nennt man die lokal durch

definierte holomorphe Differentialform auf die Spur von

Bei einer normalen verzweigten Abbildung ist

wobei die Summe über alle Decktransformationen läuft. Dies ist eine invariante Form und entspricht einer Differentialform auf , siehe Fakt. Es ist ja



Es sei eine endliche holomorphe Abbildung mit der Blätterzahl zwischen den riemannschen Flächen und . Es sei eine holomorphe Differentialform auf und ein stetiger Weg in . Es seien Liftungen von nach , die außerhalb der Verzweigungspunkte die möglichen Liftungen abdecken.

Dann ist

Die Integrale hängen nicht von Verzweigungspunkten ab. Wir berechnen also die Wegintegrale abschnittsweise im unverzweigten Ort. Es sei eine offene Kreisscheibe außerhalb des Verzweigungsortes und sei

Es sei der lokale Homöomorphismus und sei . Wir bezeichnen die eingeschränkten Wege auf bzw. auf wie zuvor. Dabei gilt wegen der Biholomorphie

Dann ist