Beweis
Die Abschätzung, dass der Grad der Körpererweiterung höchstens ist, wurde in
Fakt
bewiesen.
Es sei nun
-
und es ist zu zeigen, dass das
Minimalpolynom
von
den Grad besitzt. Angenommen, das Minimalpolynom
-
mit
(aufgefasst in )
hat Grad
.
Es sei
ein Punkt, über dem keine Verzweigung stattfindet, wo die holomorph sind und worüber holomorph ist. Es gibt dann Urbildpunkte
.
Diese erfüllen die Gleichung
-
D.h. die Punkte haben die Eigenschaft, dass alle Werte Nullstellen des Polynoms sind. Da es nur Nullstellen gibt, muss beispielsweise
sein. Da jedoch zusammen mit den Körper der meromorphen Funktionen auf erzeugt, haben
und
für beliebige meromorphe Funktionen den gleichen Wert. Doch das widerspricht dem Beweis von
Fakt.