Riemannsche Flächen/Kompakt/Holomorphe Abbildung/Hauptdivisor/Periode/Fakt/Beweis

Beweis

Bei ${}f$ konstant ist die Aussage klar, sei also ${}f$ nicht konstant. Wir fassen ${}f$ im Sinne von Fakt als eine endliche holomorphe Abbildung ${}f\colon X\rightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ auf. Die Anzahl von ${}I$ ist die Blätterzahl ${}n$ von ${}f$ und nach Fakt auch der Grad der Körpererweiterung ${}{\mathcal {M}}{\left({\mathbb {P} }_{}^{1}\right)}={\mathbb {C} }(t)\subseteq {\mathcal {M}}{\left(X\right)}$. Nach Fakt besteht die Faser über ${}0$ aus den Punkten ${}P_{i}$ und die Faser über ${}\infty$ aus den Punkten ${}Q_{i}$, wobei Wiederholungen erlaubt sind. Wir fixieren einen Basisweg ${}\delta$ in ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ von ${}0$ nach ${}\infty$, der außer eventuell am Rand durch keinen Verzweigungsbildpunkt verläuft. Dieser Weg liftet zu ${}n$ Wegen ${}\delta _{i}$, wobei ${}\delta _{i}$ in ${}P_{i}$ beginnen soll. In der Wegfamilie bestehend aus allen ${}\gamma _{i}$ und ${}\delta _{i}$ tritt jeder Punkt genauso oft als Anfangspunkt und als Endpunkt auf (der Punkt ${}P_{i}$ tritt so oft auf, wie es die Verzweigungsordnung angibt). Es liegt also ein Zykel vor bzw. man kann die Wege in eine Reihenfolge bringen, dass ein geschlossener Weg entsteht. Damit ist

${}\sum _{i\in I}\int _{\gamma _{i}}\omega +\sum _{i\in I}\int _{\delta _{i}}\omega \in \operatorname {Per} (\omega )\,.$

Nach Fakt ist

${}\sum _{i\in I}\int _{\delta _{i}}\omega =\int _{\delta }\operatorname {Spur} {\left(\omega \right)}=0\,,$

wobei die letzte Gleichung darauf beruht, dass nach Fakt auf der projektiven Geraden die globale holomorphe Differentialform ${}\operatorname {Spur} {\left(\omega \right)}$ trivial ist. Also ist

${}\sum _{i\in I}\int _{\gamma _{i}}\omega \in \operatorname {Per} (\omega )\,.$

Zur bewiesenen Aussage