Riemannsche Flächen/Kompakt/Riemann-Hurwitz/Formel/Auf projektive Gerade/Fakt

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung auf einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Fläche ${}X$.

Dann gilt zwischen dem Geschlecht von ${}X$, dem Grad von ${}\varphi$ und dem Verzweigungsdivisor ${}R$ die Beziehung

${}g(X)=-\operatorname {Grad} \,(\varphi )+{\frac {\operatorname {Grad} \,(R)}{2}}+1\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen