Beweis
Für jeden Punkt
ist
ein
Untervektorraum
nach
Fakt.
Daher induziert das
Skalarprodukt
auf
ein Skalarprodukt auf
. Für die stetige Differenzierbarkeit des Skalarproduktes sei
-
eine Karte von
mit
,
die eine Bijektion
zwischen
und
induziere
(mit
).
Unter dieser Identifizierung ist
mit den Basisvektoren
,
.
Für Paare
,
,
von solchen Vektoren gelten dann für
die Gleichheiten
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}h_{ij}(Q)&:=\left\langle T(\alpha ^{-1})(e_{i}),T(\alpha ^{-1})(e_{j})\right\rangle _{\alpha ^{-1}(Q)}\\&=\left\langle T(\theta ^{-1})(e_{i}),T(\theta ^{-1})(e_{j})\right\rangle _{\theta ^{-1}(Q)}\\&=g_{ij}(Q),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/584a9ce08aa11b202913172c4270b32281ac88d0)
da ja das Skalarprodukt auf
einfach die Einschränkung des Skalarproduktes auf
ist und da
die Einschränkung von
ist.