Riemannsche Mannigfaltigkeit/Isometrie/Grundlegende Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Es sei ${}\omega$ die kanonische Volumenform auf ${}M$ und ${}P\in L$. Es sei ${}u_{1},\ldots ,u_{n}\in T_{P}L$ eine Orthonormalbasis von ${}T_{P}L$, die die Orientierung von ${}L$ repräsentiert. Dann ist

   ${}{\left(\varphi ^{*}\omega \right)}(P,u_{1},\ldots ,u_{n})=\omega (\varphi (P),T_{P}(u_{1}),\ldots ,T_{P}(u_{n}))\,.$

   Wegen der Isometrie ist ${}T_{P}(u_{1}),\ldots ,T_{P}(u_{n})$ eine Orthonormalbasis von ${}T_{\varphi (P)}M$ und wegen der Orientierungserhaltung der Abbildung repräsentiert sie die Orientierung auf ${}M$, daher ist der Wert gleich ${}1$. Diese Eigenschaft charakterisiert die kanonische Volumenform auf ${}L$.

2. Die Kurvenlänge von ${}\gamma$ ist das Integral zu ${}\Vert {\gamma '(t)}\Vert$, wobei die Norm in ${}T_{\gamma (t)}L$ zu nehmen ist. Entsprechend ist die Kurvenlänge von ${}\varphi \circ \gamma$ das Integral über ${}\Vert {{\left(\varphi \circ \gamma \right)}'(t)}\Vert$, was wegen der Isometrie das gleiche ist.
3. Zu einer Teilmenge ${}S\subseteq L$ ist das Maß zur kanonischen Volumenform von ${}L$ über ${}S$ nach Teil (1) und Fakt gleich

   ${}\int _{S}\omega _{L}=\int _{S}\varphi ^{*}(\omega _{M})=\int _{\varphi (S)}\omega _{M}\,.$

4. Dies folgt direkt aus der Isometrie.

Zur bewiesenen Aussage