Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Geodätische/Geschwindigkeitskonstanz/Fakt/Beweis

Beweis

Auf einem offenen Kartengebiet ist unter Verwendung von Fakt (2) und Fakt

{}{\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}\left\langle \gamma '(t),\gamma '(t)\right\rangle &=\left\langle \nabla _{\frac {\partial }{\partial t}}\gamma '(t),\gamma '(t)\right\rangle +\left\langle \gamma '(t),\nabla _{\frac {\partial }{\partial t}}\gamma '(t)\right\rangle \\&=2\left\langle \nabla _{\frac {\partial }{\partial t}}\gamma '(t),\gamma '(t)\right\rangle \\&=2\left\langle 0,\gamma '(t)\right\rangle \\&=0,\end{aligned}}

also ist ${}\left\langle \gamma '(t),\gamma '(t)\right\rangle$ konstant.