Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Schnittkrümmung/Definition

Schnittkrümmung

Es sei ${}M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit, die mit dem Levi-Civita-Zusammenhang auf dem Tangentialbündel ${}TM$ und dem zugehörigen Krümmungsoperator ${}R$ versehen sei. Dann nennt man zu linear unabhängigen Vektoren ${}v,w\in T_{P}M$ über einem Punkt ${}P\in M$ die Zahl

${}K(v,w)={\frac {\left\langle R(v,w)w,v\right\rangle }{\left\langle v,v\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle -\left\langle v,w\right\rangle ^{2}}}\,$

die Schnittkrümmung zu ${}v,w$ in ${}P$.