Riemannsche Mannigfaltigkeit/Zusammenhängend/Metrik/Definition

Metrik auf riemannscher Mannigfaltigkeit

Es sei ${}M$ eine zusammenhängende riemannsche Mannigfaltigkeit. Zu Punkten ${}P,Q\in M$ definiert man

${}d(P,Q):=\operatorname {inf} (L(\gamma ),\gamma {\text{ ist ein stetiger stückweise stetig differenzierbarer Verbindungsweg von }}P{\text{ nach }}Q)\,$

und nennt dies die riemannsche Metrik auf ${}M$.