Riemannsche Untermannigfaltigkeit des R^n/Einbettung/Volumenform/Fakt/Beweis

Beweis

Die zweite Gleichung ergibt sich einfach durch Auswertung des Standardskalarproduktes auf dem ${}\mathbb {R} ^{m}$. Nach Definition der metrischen Fundamentalmatrix ist für ${}Q\in W$

${}{\begin{aligned}g_{ij}(Q)&=\left\langle T_{Q}(\varphi )(e_{i}),T_{Q}(\varphi )(e_{j})\right\rangle _{\varphi (Q)}\\&=\left\langle T_{Q}(\varphi )(e_{i}),T_{Q}(\varphi )(e_{j})\right\rangle \\&=\left\langle {\left(D\varphi \right)}_{Q}{\left(e_{i}\right)},{\left(D\varphi \right)}_{Q}{\left(e_{j}\right)}\right\rangle \\&=\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{i}}}(Q)\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{i}}}(Q)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j}}}(Q)\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j}}}(Q)\end{pmatrix}}\right\rangle ,\end{aligned}}$

da ja der Tangentialraum ${}T_{\varphi (Q)}M$ das induzierte Skalarprodukt des ${}\mathbb {R} ^{m}$ trägt, da die Tangentialabbildung im lokalen Fall das totale Differential ist und da man dessen Einträge mit den partiellen Ableitungen ausdrücken kann. Daher ergibt sich die Behauptung aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage