Riemannsche Mannigfaltigkeit/C^1/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit heißt riemannsche Mannigfaltigkeit, wenn auf jedem Tangentialraum , , ein Skalarprodukt erklärt ist derart, dass für jede Karte

mit die Funktionen (für )

-differenzierbar sind.

Die auf den Karten definierten Funktionen fasst man zu einer Matrix zusammen, die man auch die metrische Fundamentalmatrix (oder den metrischen Fundamentaltensor) nennt. Diese Matrix ist in jedem Punkt symmetrisch und positiv definit. Wichtig ist auch die Determinante davon, also

die ebenfalls stetig differenzierbar ist und die nach Fakt überall positiv ist.

Das einfachste Beispiel einer riemannschen Mannigfaltigkeit ist der euklidische Raum mit dem Standardskalarprodukt (und überhaupt jeder euklidische Raum) sowie eine jede offene Teilmenge davon. Wichtiger ist, dass auch jede abgeschlossene Untermannigfaltigkeit einer riemannschen Mannigfaltigkeit wieder eine riemannsche Mannigfaltigkeit ist. Dadurch ergeben sich viele nichttriviale Beispiele, wie beispielsweise Flächen im wie die Sphäre oder der Torus.



Satz  

Sei eine riemannsche Mannigfaltigkeit und eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit.

Dann ist ebenfalls eine riemannsche Mannigfaltigkeit.

Beweis  

Für jeden Punkt ist ein Untervektorraum nach Fakt. Daher induziert das Skalarprodukt auf ein Skalarprodukt auf . Für die stetige Differenzierbarkeit des Skalarproduktes sei

eine Karte von mit , die eine Bijektion zwischen und induziere. Unter dieser Identifizierung ist mit den Basisvektoren , . Für Paare , , von solchen Vektoren gelten dann für die Gleichheiten

da ja das Skalarprodukt auf einfach die Einschränkung des Skalarproduktes auf ist und da die Einschränkung von ist.