Riemannsche Mannigfaltigkeit/Orientiert/Kanonische Volumenform/Lokale Berechnung/Fakt

Es sei ${}M$ eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit und ${}\omega$ die kanonische Volumenform. Es sei

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

eine orientierte Karte mit  ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  offen mit Koordinaten ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ mit der metrischen Fundamentalmatrix  ${}G=(g_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$  und  ${}g=\det G$. 

Dann ist

${}\alpha _{*}\omega ={\sqrt {g}}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,.$

Für eine messbare Teilmenge  ${}T\subseteq U$  ist

${}\int _{T}\omega =\int _{\alpha (T)}{\sqrt {g}}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}=\int _{\alpha (T)}{\sqrt {g}}\,d\lambda ^{n}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen