Riemannsche Zetafunktion/Endliche Produktdarstellung/Fakt/Beweis/Detaillinks

Sei ${}T=\{p_{1},\ldots ,p_{k}\}$. Es ist ${}$ nach Voraussetzung über den Realteil. Unter Verwendung der geometrischen Reihe ergibt sich

$\prod _{p\in T}{\frac {1}{1-p^{-s}}}$	$=$ Hier wird p in die Primfaktoren p1 bis pk zerlegt. || ${\frac {1}{1-p_{1}^{-s}}}\cdots {\frac {1}{1-p_{k}^{-s}}}$
	$=$ Da jeder einzelne Faktor eine geometrische Reihe darstellt, kann man ihn auch in der üblichen Summenschreibweise angeben! || $\left(\sum _{i=0}^{\infty }(p_{1}^{-s})^{i}\right)\cdots \left(\sum _{i=0}^{\infty }(p_{k}^{-s})^{i}\right)$ ||
	$=$ Jetzt lassen sich die Summen der p -is zu einer großen Summe zusammenfassen. || $\sum _{0\leq i_{1},\ldots ,i_{k}<\infty }(p_{1}^{-s})^{i_{1}}\cdots (p_{k}^{-s})^{i_{k}}$ ||
	$=$ Die einzelnen i's lassen sich in die Klammern hineinziehen und das -s aus der Klammer herausziehen, aufgrunde der Potenzgesetze in Z. || $\sum _{0\leq i_{1},\ldots ,i_{k}<\infty }(p_{1}^{i_{1}}\cdots p_{k}^{i_{k}})^{-s}$ ||
	$=$ Damit erhält man eine Primfaktorzerlegung von n, insgesamt also die die Riemannsche Zeta-Funktion. || $\sum _{n\in M(T)}n^{-s}$ . ||