Riemannscher Abbildungssatz/Injektive Abbildung in Kreis/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}w\notin U$. Dann ist die lineare Funktion ${}z-w$ nullstellenfrei auf ${}U$ und daher gibt es nach Fakt eine holomorphe Funktion ${}\psi \colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit ${}{\left(\psi (z)\right)}^{2}=z-w$. Die Abbildung ${}\psi$ ist injektiv als Quadratwurzel einer injektiven Funktion. Aufgrund des Offenheitssatzes ist ${}\psi (U)$ offen in ${}{\mathbb {C} }$. Es gibt also insbesondere einen Punkt ${}P\neq 0$ und eine offene Kreisscheibe

${}U{\left(P,r\right)}\subseteq \psi (U)\,,$

wobei wir ${}0<r<\vert {P}\vert$ wählen. Wir behaupten, dass die gegenüberliegende Kreisscheibe ${}U{\left(-P,r\right)}$ disjunkt zu ${}\psi (U)$ ist. Wäre nämlich ${}Q\in U{\left(-P,r\right)}\cap \psi (U)$, so gäbe es Punkte ${}S_{1},S_{2}\in U$ mit ${}Q=\psi (S_{1})$ und ${}-Q=\psi (S_{2})$. Doch dann ist

${}{\left(\psi (S_{1})\right)}^{2}=Q^{2}={\left(\psi (S_{2})\right)}^{2}\,,$

was der Injektivität von ${}z-w$ widerspricht. Daher ist ${}\vert {\psi (z)+P}\vert \geq r$ und die Funktion

${}\varphi (z)={\frac {r}{\psi (z)+P}}\,$

ist auf ${}U$ wohldefiniert, injektiv und landet im abgeschlossenen, aber aufgrund des Offenheitssatzes auch im offenen Einheitskreis.

Zur bewiesenen Aussage