Rotationsfläche/Hauptkrümmungen/Beispiel

Es sei ${}I$ ein offenes Intervall und ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R} _{+}$ eine differenzierbare Funktion, es sei ${}Y$ die zugehörige Rotationsfläche (um die ${}x$-Achse) zum Graphen von ${}f$ und sei

${}P={\begin{pmatrix}x_{0}\\f(x_{0})\\0\end{pmatrix}}\in Y\,$

(was keine wesentliche Einschränkung ist). Wir betrachten den Ausschnitt der Rotationsfläche oberhalb von ${}{\left\{(x,z)\mid z^{2}<f(x_{0})\right\}}$ als den Graphen zu

${}g(x,z)={\sqrt {f(x)^{2}-z^{2}}}={\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{1/2}\,.$

Die Jacobi-Matrix von ${}g$ ist

$\left({\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-1/2}f(x)f'(x),\,-z{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-1/2}\right)$

und die Hesse-Matrix von ${}g$ ist

${\begin{pmatrix}-{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-3/2}f(x)^{2}f'(x)^{2}+{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-1/2}{\left(f'(x)^{2}+f(x)f^{\prime \prime }(x)\right)}&z{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-3/2}f(x)f'(x)\\z{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-3/2}f(x)f'(x)&-{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-1/2}-z^{2}{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-3/2}\end{pmatrix}}$

bzw. das ${}{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-3/2}$-Vielfache von

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\begin{pmatrix}-f(x)^{2}f'(x)^{2}+{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}{\left(f'(x)^{2}+f(x)f^{\prime \prime }(x)\right)}&zf(x)f'(x)\\zf(x)f'(x)&-{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}-z^{2}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}f(x)^{3}f^{\prime \prime }(x)-z^{2}f'(x)^{2}-z^{2}f(x)f^{\prime \prime }(x)&zf(x)f'(x)\\zf(x)f'(x)&-f(x)^{2}\end{pmatrix}}.\,\end{aligned}}$

Für den gewählten Punkt ${}P$ ist dies

${}{\frac {1}{f(x_{0})^{3}}}{\begin{pmatrix}f(x_{0})^{3}f^{\prime \prime }(x_{0})&0\\0&-f(x_{0})^{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f^{\prime \prime }(x_{0})&0\\0&-{\frac {1}{f(x_{0})}}\end{pmatrix}}\,.$

Nach Fakt ist die Weingartenabbildung in ${}P$ gleich

${\frac {1}{\sqrt {1+f'(x_{0})^{2}}}}{\begin{pmatrix}f^{\prime \prime }(x_{0})&0\\0&-{\frac {1}{f(x_{0})}}\end{pmatrix}}.$

Somit sind die beiden Hauptkrümmungen gleich ${}{\frac {f^{\prime \prime }(x_{0})}{\sqrt {1+f'(x_{0})^{2}}}}$ und ${}-{\frac {1}{f(x_{0}){\sqrt {1+f'(x_{0})^{2}}}}}$, die Hauptkrümmungsrichtungen sind die Standardvektoren bzw. ihre Bilder ${}{\begin{pmatrix}1\\f'(x_{0})\\0\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ im Tangentialraum ${}T_{P}Y$. Die Hauptkrümmungsrichtungen verlaufen also längs des Graphen zu ${}f$ und längs der Kreisbewegung der Rotation. Die Gaußkrümmung ist

${\frac {-f^{\prime \prime }(x_{0})}{f(x_{0}){\left(1+f'(x_{0})^{2}\right)}}}.$