S^2/Lokal konstante Garbe/2. Kohomologie/Bemerkung

Auf der ${}S^{2}$ fixieren wir ein „Dreieck“, etwa eines, das ein Achtel der Oberfläche einnimmt. Es seien ${}K_{1},K_{2},K_{3}$ die Kanten des Dreieckes. Dann ist

${}U_{i}=S^{2}\setminus K_{i}\,$

homöomorph zum ${}\mathbb {R} ^{2}$, der Durchschnitt

${}U_{1}\cap U_{2}=S^{2}\setminus {\left(K_{1}\cup K_{2}\right)}\,$

ist ebenfalls homöomorph zum ${}\mathbb {R} ^{2}$, dagegen zerfällt der Dreierdurchschnitt ${}U_{1}\cap U_{2}\cap U_{3}$ in zwei Teile, nämlich das offene innere Dreieck und die offene Restfläche, die beide homöomorph zum ${}\mathbb {R} ^{2}$ sind. Für die Garbe der lokal konstanten Funktionen mit Werten in ${}{\mathbb {K} }$ ist der Čech-Komplex gleich

$\oplus _{i}\Gamma (U_{i},{\mathbb {K} })\cong {\mathbb {K} }^{3}\longrightarrow \oplus _{i<j}\Gamma (U_{i}\cap U_{j},{\mathbb {K} })\cong {\mathbb {K} }^{3}\longrightarrow \Gamma (U_{1}\cap U_{2}\cap U_{3},{\mathbb {K} })\cong {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow 0.$

Nach (einer Verallgemeinerung von) Fakt kann man die Kohomologie mit dieser Überdeckung ausrechnen. Die vordere Abbildung ist ${}(a,b,c)\mapsto (a-b,b-c,a-c)$. Die hintere Abbildung ist ${}(r,s,t)\mapsto (r+s-t)$, insbesondere stimmen im Bild die Werte auf den beiden Komponenten überein. Deshalb ist

${}H^{1}(S^{2},{\mathbb {K} })=0\,$

und

${}H^{2}(S^{2},{\mathbb {K} })={\mathbb {K} }\,.$