S^2/Lokal konstante Garbe/Erste und zweite Cech-Kohomologie/Aufgabe

Auf der Kugeloberfläche ${}S^{2}$ fixieren wir ein „Dreieck“, etwa eines, das ein Achtel der Oberfläche einnimmt. Es seien ${}K_{1},K_{2},K_{3}$ die Kanten des Dreieckes. Dann ist

${}U_{i}=S^{2}\setminus K_{i}\,$

homöomorph zum ${}\mathbb {R} ^{2}$, der Durchschnitt

${}U_{1}\cap U_{2}=S^{2}\setminus {\left(K_{1}\cup K_{2}\right)}\,$

ist ebenfalls homöomorph zum ${}\mathbb {R} ^{2}$, dagegen zerfällt der Dreierdurchschnitt ${}U_{1}\cap U_{2}\cap U_{3}$ in zwei Teile, nämlich das offene innere Dreieck und die offene Restfläche, die beide homöomorph zum ${}\mathbb {R} ^{2}$ sind. Es sei ${}G$ eine diskrete topologische Gruppe und ${}{\mathcal {G}}$ die zugehörige Garbe der lokal konstanten Funktionen mit Werten in ${}G$. Bestimme den Čech-Komplex zu dieser Überdeckung und berechne

${}{\check {H}}^{1}(U_{i},{\mathcal {G}})$ und ${}{\check {H}}^{2}(U_{i},{\mathcal {G}})$.

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