S^2/Orientierte Mannigfaltigkeit/Beispiel

Wir betrachten die $2$ -Sphäre $S^{2}$ als Faser über $0$ zur differenzierbaren Abbildung

φ : ℝ^{3} ⟶ ℝ, (x, y, z) ⟼ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 1.

Wir können darauf Fakt anwenden und erhalten durch

\overset{2}{⋀} T_{P} S^{2} ⟶ ℝ, v_{1} \land v_{2} ⟼ det (Grad φ (P), v_{1}, v_{2}),

(wobei die Tangentenvektoren $v_{1}$ und $v_{2}$ wegen $T_{P} S^{2} \subseteq T_{P} ℝ^{3} = ℝ^{3}$ direkt im $ℝ^{3}$ aufgefasst werden können.), eine stetige nullstellenfreie Flächenform $ω$ . Dies führt zu einer positiven Flächenform und zu einer Orientierung auf $S^{2}$ . Zwei linear unabhängige Tangentialvektoren $v_{1}$ und $v_{2}$ repräsentieren die Orientierung, wenn $ω (v_{1}, v_{2}) > 0$ ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn die drei Vektoren $Grad φ (P), v_{1}, v_{2}$ die Standardorientierung des $ℝ^{3}$ repräsentieren.